テッセレーションの仕組み

私たちは数学をその美しさ、優雅さ、そして宇宙の構造に織り込まれたパターンを体系化する能力のために研究しています。その数字と公式の中で、世俗的なものは秩序を認識し、宗教的なものは創造の言語の遠くの反響を捉えます。数学は崇高なものを実現します。時にはテッセレーションのように、それが芸術にまで発展することもあります。

テッセレーション(定義された形状の隙間のないモザイク) は、建築全体に繰り返し現れる比率、定数、パターンの一種に属し、顕微鏡で明らかになり、すべての蜂の巣やヒマワリから放射状に広がります。幾何学、物理学、確率と統計、さらには地形学やカオス理論に至るまで、あらゆる方程式を分解すると、円周率 (π) が礎石のように位置していることがわかります。オイラー数 (e) は、微積分、放射性崩壊計算、複利計算式、および確率に関する特定の奇妙なケースで繰り返し頭をもたげます。黄金比 (φ) は、葉や茎、骨、動脈、ヒマワリの自然な配置を定義したり、脳波の時計周期と一致したりすることを人々が発見するずっと前から、芸術、デザイン、建築、音楽の基礎を形成していました [出典: パドヴァン、 ヴァイス、 ろーぷん』。これは、別の根強いパターンのお気に入りであるフィボナッチ数列との関係さえあり、独自のタイリング進行を生成します。

科学、自然、芸術もテッセレーションであふれています。 π、e、φ と同様に、これらの繰り返しパターンの例は、ありふれた歩道、壁紙、ジグソーパズル、タイル張りの床から、オランダのグラフィック アーティストMC エッシャーの壮大な芸術、または 14 世紀のムーアの要塞の息を呑むようなタイル細工に至るまで、私たちの毎日の周りにあります。 、スペインのグラナダにあるアルハンブラ宮殿。実際、「テッセレーション」という言葉は、ラテン語のテッセラ(通常は正方形のモザイク内の個々のタイル) の縮小形であるテッセラに由来しています。テッセラは、4 を意味するギリシャ語のテッサレスに由来すると考えられます。

数学、科学、自然は、その意味が何であれ、このような有用なパターンに依存しています。モザイクや彫刻の超越的な美しさを超えて、テッセレーションは数学、天文学、生物学、植物学、生態学、コンピューター グラフィックス、材料科学、道路システムを含むさまざまなシミュレーション全体に応用されています。

この記事では、これらの数学的モザイクとは何なのか、それらが持つことができる対称性の種類、そして数学者や科学者が問題解決のテクニックのツールボックスに入れている特別なテッセレーションは何かを示します。

まず、テッセレーションを構築する方法を見てみましょう。

シェイプアップ中、またはもう一度言っていただけますか?

テッセレーションは、基本的なものから驚異的なものまで、あらゆる範囲に対応します。最も単純なものは、隙間を残さずに 2 次元平面を覆う単一の形状で構成されます。そこからは、複数の不規則な形からなる複雑なパターンから、空間を満たすために組み合わされる 3 次元の固体、さらには高次元まで、無限の可能性があります。

正三角形、正方形、六角形の 3 つの規則的な幾何学的形状がモザイク状に配置されています。長方形やひし形 (ダイヤモンド) など、他の 4 面の形状も同様です。さらに言えば、非正三角形を背中合わせに配置するとシームレスにタイル状に並べられ、平行四辺形が作成されます。不思議なことに、どんな形の六角形でも、対辺が等しい場合はモザイク状になります。したがって、どのような 4 辺の形状でも、背中合わせに配置して六角形を作成すると、隙間のないモザイクを形成できます。

正多角形を組み合わせたり、特定の配置で正多角形と半正多角形を混ぜ合わせたりすることによって、平面をテッセレーションすることもできます。ポリゴンは、三角形や長方形などの線分で構成される 2 次元の形状です。正多角形は、すべての辺とすべての角度が等しい多角形の特殊なケースです。正三角形や正四角形は正多角形の良い例です。

MC エッシャーのような形が整っていて複雑なテッセレーションであっても、すべてのテッセレーションは、隙間なく繰り返される形状から始まります。コツは、形状を変更することです (たとえば、菱形など)。そうすることで、ぴったりとフィットするようになります。簡単な方法の 1 つは、一方の側から形状を切り取って、もう一方の側に貼り付けることを必要とします。これにより、ぴったりとフィットし、積み重ねやすい形状が得られます。変更する面が増えるほど、パターンはより興味深いものになります。

もっと冒険したい場合は、片側に波線を落書きし、同じ線を反対側にコピーしてみてください。このアプローチでは、部分を適切に連結させるために多少の調整が必要になる場合があります。たとえば、多角形の辺の数が奇数の場合、残った辺を半分に分割し、分割された両側に鏡像の形状を描画するとよいでしょう。これにより、自分自身と連動する側面が作成されます。

モザイク状の 2 つ以上の図形で運試ししてください。これを幾何学的に行うことも、単純にページを好きな形で埋めて、ネガティブ スペースに適合する画像を想像することもできます。関連する方法では、既知のモザイク状の形状をより小さい形状で埋めることが必要になります。フラクタル テッセレーション(複数のスケールでぴったりと適合し、自己相似となる形状のパターン) もあります。

最初の結果が少し無意味に思えても心配する必要はありません。エッシャーがこれらの狂ったモザイクをマスターするのに何年もかかりました、そして彼でさえ常に意味をなさない組み合わせを持っていました。

基礎を築いたので、研究者が難しい理論上および応用上の問題を解決するために使用する特別なテッセレーションのいくつかを見てみましょう。

宇宙をタイリングする: 特別なテッセレーション

研究者たちはテッセレーションを調査し、数学的に定義する中で、難しい問題の解決に優れた特定のタイプを特定しました。よく知られた例の 1 つは、ディリクレ テッセレーションまたはティーセン ポリゴンとしても知られるボロノイ テッセレーション( VT ) です。

VT は、チャート上の星のような一連の点に基づくテッセレーションです。各点は、他の点よりもその定義点に近い領域全体を囲む多角形セル (線分で形成された閉じた形状) で囲まれています。セルの境界 (またはポリゴン セグメント) は 2 つの点から等距離にあります。 3 つ以上のセルが交わるノードは、3 つ以上の定義点から等距離にあります。 VT は高次元のテッセレーションも可能です。

結果として得られる VT パターンは、ミツバチが一晩中花蜜を曲げた後に構築する蜂の巣に似ています。それでも、これらの生意気な細胞は美しさでは欠けていますが、価値ではそれを補って余りあります。

他のテッセレーションと同様に、VT は自然界で繰り返し出現します。その理由は簡単にわかります。岩の上の地衣類の胞子のように、点源が一定の速度で一緒に成長する現象は、VT のような構造を生成します。つながった気泡の集合体は 3 次元 VT を形成します。これは、研究者が気泡をモデル化するときに類似性を利用しています。

VT は、データ パターンを視覚化して分析するための便利な方法も提供します。密集した空間データは、細胞が密集した領域として VT 上で目立ちます。天文学者はこの性質を利用して、銀河団を特定するのに役立てています。

コンピュータ プロセッサは、ポイント ソース データと一連の単純な命令からオンザフライで VT を構築できるため、VT を使用すると、メモリと処理能力の両方が節約されます。これは、最先端のコンピュータ グラフィックスの生成や複雑なシステムのシミュレーションに不可欠な品質です。 VT は、必要な計算を減らすことで、タンパク質のフォールディング、細胞モデリング、組織シミュレーションなど、他の方法では不可能な研究への扉を開きます。

VT に近い親戚であるDelaunay テッセレーションもさまざまな用途に使用できます。ドロネー テッセレーションを作成するには、VT から始めて、新しい線が 2 つのボロノイ ポリゴンの共有線と交差するように、セルを定義するドットの間に線を描きます。結果として得られる太い三角形の格子は、グラフィックスと地形を単純化するための便利な構造を提供します。

数学者や統計学者は、ドロネー テッセレーションを使用して、空間内のすべての点について方程式を解くなど、計算不可能な質問に答えます。この無限の計算を試みる代わりに、ドロネー セルごとに 1 つの解を計算します。

1921 年 1 月 27 日、ベルリンのプロイセン科学アカデミーでの演説の中で、アインシュタインは次のように述べました、「数学の法則が現実を指すかどうかは不確実であり、確かであるかぎり、それらは言及していない」現実へ。」明らかに、テッセレーションされた近似は完璧には達していません。それにもかかわらず、それらは、そうでなければ扱いにくい問題を現在の計算能力で管理可能な形式に減らすことによって進歩を可能にします。それ以上に、それらは私たちに宇宙の根底にある美しさと秩序を思い出させます。