距離の公式: 2 点間の距離を求める

あなたは数学の授業に座って、最新のポップクイズに生き残ろうとしています。 「これらの点の間の距離を求めてください」というプロンプトを読むと、額から汗が流れ落ちます。

あなたが探している距離の公式は非常に単純で、数学全体の中で最も便利で有名な概念の 1 つであるピタゴラスの定理に関連しています。

距離の公式とは何ですか?

距離公式は、グラフ上の 2 点間の線分の長さを求めるために使用される代数方程式であり、 (点座標平面とも呼ばれます) と呼ばれます。

この 2 次元平面は、原点と呼ばれる中心点で交差する 2 つの垂直軸 (通常は x 軸と y 軸とラベル付けされます) によって定義されます。表現するとこうなります。

2 つの点 P (x₁, y₁) と Q(x₂, y₂) がある 2 次元空間では、これら 2 つの点間の距離 (d) は次の式で求められます。 d = √ (x₂ – x₁)² + (y₂) – y₁)²

2 つの点 P(x₁, y1, z₁) と Q(x₂, y₂, z₂) を持つ 3 次元空間では、これら 2 つの点の間の距離 (d) は次の式で求められます。 d = √ (x₂ – x₁) ² + (y₂ – y₁)² + (z₂ – z₁)²

次に、点座標平面を詳しく見ていきます。これは、数学の問題から まで、あらゆるものに不可欠な、水平方向と垂直方向の位置によって正確なスポットを見つけるのに役立ちます。

距離計算式計算機

点座標平面を理解する

「グラフ」という言葉を聞くと、ほとんどの人は、垂直と水平の 2 本の線が直角に交差するグラフを想像します。

垂直線は y 軸と呼ばれ、その水平線は x 軸と呼ばれます。両方の行が連携してデータでストーリーを伝えます。

グラフ上の 1 つの点がどこにあるかを把握したい場合は、その点が 2 つの次元 (x 軸と y 軸) に沿ってどこに位置するかを測定します。これらは点の座標として知られています。

それらの間の距離を計算する前に、最初の点と 2 番目の点の座標を見つける必要があります。距離公式を使用して、2 点を結ぶ直線セグメントを測定します。

ここで、ピタゴラスの定理と距離の公式の間の至福の関係を探ってみましょう。

ピタゴラスの定理と距離の公式

ピタゴラスの定理は、ギリシャの哲学者にちなんで名付けられましたが、彼の誕生の 1000 年以上前に、ピタゴラスの定理は、現在彼の名前に関連付けられている幾何学的原理をすでに理解していました。

本質的に、ピタゴラスの定理は、三角形の他の 2 つの辺の長さがわかっている場合に、その最長の辺を見つける方法を教えてくれます。距離の公式は、この考え方を使用して、点を処理することによってグラフ上の 2 つの点がどれだけ離れているかを測定します。あたかも直角三角形の角にあるように。

簡単な復習が必要な方のために、ピタゴラスの定理は次のように述べています。直角三角形の斜辺の上に作られる正方形の面積は、残りの辺の正方形の面積の合計に等しいです。

ここで理解すべき重要なポイントがいくつかあります。直角三角形、または直角三角形には、直角として知られる 90 度の角度が 1 つあります。この三角形の最長の辺は と呼ばれ、直角の反対側に位置します。

誰もが知っているように、三角形には 3 つの辺がありますが、正方形には 4 つの辺があります。そこで、直角三角形の斜辺を取り、それを真新しい正方形の 4 本の線のうちの 1 本に変えることを想像してください。次に、元の三角形の他の 2 辺に対しても同じことを行います。最終的には になります。

ピタゴラスの定理によれば、斜辺によって形成される正方形の面積は、他の 2 つの辺によって形成される正方形の面積の合計に等しいです。斜辺に「c」というラベルが付けられ、他の 2 つの辺に「a」と「b」というラベルが付けられている場合、そのアイデアは次のように表現できます。

2 点間の距離を求める方法

グラフ上の最初の点と 2 番目の点には、それぞれ x 座標と y 座標があります。これら 2 点間の最短距離は、ピタゴラスの定理に関連した代数式であるユークリッド距離公式を使用して計算できます。

ここで、 D は「距離」を表します。 x₂ と x₁ については、それぞれ点 2 と点 1 の x 座標を指します。 y₂ と y₁ にも同じことが当てはまりますが、これらは 2 つの y 座標である点が異なります。

したがって、距離を計算するには、最初のステップは x₂ から x₁ を減算することです。次に、結果の数値をそれ自体で乗算する (言い換えれば、その数値を「2 乗」する) 必要があります。

その後、y₂ から y₁ を減算し、それから得られる答えを 2 乗する必要があります。これにより、合計する必要がある 2 つの数値が残ります。

次に、最後にその数値を取得し、その平方根を求めます。そしてその平方根は、皆さん、私たちの距離です。

距離の計算式の例

OK、では、点 A の x 座標が 2、y 座標が 5 (2,5) であるとします。また、点 B の x 座標が 9、y 座標が 13 (9,13) であると仮定します。これらの値を便利な式に代入すると、次のようになります。

9マイナス2って何？簡単です、7。もちろん、13 から 5 を引くと 8 になります。

これで次のようになります。

7 を「2 乗」すると、数値そのものを掛けると、最終的には 49 になります。8 を 2 乗すると、64 になります。これらの値を方程式に代入しましょう。

今、料理をしています。 49 と 64 を足すと 113 になります。

113の平方根は何ですか?答えは 10.63 なので、次のようになります。

次のポップクイズに挑戦して正解してください!